一、全等三角形模型：垂线模型
1. 模型特点
全等三角形模型中的垂线模型，是指在某一条直线上有三个角相等。已知任意一条线段相等。解法如下：
- 其中一组角为模型已知的等角，那么另外一组角就是利用三角形内角和或者外角等于不相邻两个内角和”或者平角直角定义”等进行导角。
- 从而构造AAS”或者ASA”型全等。
2. 专题练习
单选题
- 题目：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABP的面积为3.5cm²，△BPC的面积为4.5cm²，则△APC的面积为( )。
A. 0.25cm² B. 0.5 cm² C. 1cm² D. 1.5cm²
答案：C
分析：延长AP，交BC于点D，则可证△ABP≌△DBP，可得AP=DP，△ABP与△DBP的面积相等，则△PCD与△ACP的面积相等，然后得到△APC的面积。
详解：解：如图，延长AP，交BC于点D，BP平分∠ABC，△ABP≌△DBP，BP=BP，AP=DP，APBD=PB90°，△ABP≌△DBP，AP=DP，△PCD与△ACP底边相等，高相同，PC=AC，△PCD与△ACP的面积相等，故选择：C。
点睛
本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等。
二、半角模型——正方形向三角形延伸
1. 模型特点
半角模型是一种将正方形向三角形延伸的拓展模型。它包括以下几种类型：
- A字型、反A字型（斜A字型）（平行）
- 8字型、反8字型（蝴蝶型丿）（平行）（不平行）
- 母子型 A D D
- 一线三等角型
- 双垂型
2. 拓展应用
例题
已知：如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AC上，且BE=CD，AD⊥BC，AE=AD。
求证：△ABE≌△ACD。
证明：
- 在△ABE和△ACD中，∠AEB=∠ADC（已知），∠ABE=∠ACD（已知），BE=CD（已知），∠B=∠D（AD⊥BC）。
- 由AAS可知，△ABE≌△ACD。
变式
若AB=AC，求证：△ABE≌△ACD。
证明：
- 在△ABE和△ACD中，∠AEB=∠ADC（已知），∠ABE=∠ACD（已知），BE=CD（已知），AB=AC（已知），∠B=∠D（AD⊥BC）。
- 由SAS可知，△ABE≌△ACD。
总结
全等三角形模型和半角模型是三角形拓展学习的两种重要模型，它们在解决实际问题中具有广泛的应用。通过学习和掌握这些模型，可以帮助我们更好地理解和运用三角形的性质。