1. 定义与性质
定义1
三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。）
定义2
三角形的一个内角平分线与这个角的对边所在直线相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形内角平分线。
性质
- 三角形的角平分线是一条线段。
- 由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
- 任意三角形的角平分线都在三角形内部。
- 三角形的三条角平分线永远交三角形内部于一点，这个点我们称之为内心。
2. 角平分线定理
定理1
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
定理2
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
应用
- 不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例。
3. 角平分线与内心
性质
- 三角形的三条角平分线相交于一点，称作三角形内心。
- 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4. 角平分线与外角平分线
性质
- 三角形的外角平分线分对边成两条线段，那么这两条线段与相邻的两边对应成比例。
- 三角形的外角平分线都在三角形外。
5. 角平分线的画法
- 以三角形顶点A为圆心，任意长度为半径，作圆弧，与三角形顶点的两条边各相交于一点M、N。
- 分别以交点M、N为圆心，相同长度为半径作圆弧，使两条圆弧相交于一点O。
- 连接A、O两点，即可得A的角平分线。
6. 角平分线与中线、高线的关系
中线
- 连结三角形一个顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分。
- 三角形的三条中线必交于一点，该交点为三角形重心。
高线
- 从三角形一个端点向它的对边所在的直线作一条垂线，顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高。
- 由于三角形有三条边，所以三角形有三条高。
7. 角平分线在解题中的应用
应用案例
- 在解决三角形面积、周长等问题时，可以利用角平分线的性质简化计算。
- 在证明三角形相似、全等时，可以利用角平分线的性质构造辅助线。
通过以上七大奥秘的破解，我们可以更好地理解和应用三角形角平分线，提高解题能力。