模型题1：利润与二次函数
题目：一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本。据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w≤10x≤90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。 （1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y，写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？ （2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等？ （3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。
解析： （1）设每月利润为p万元，则有y = p * x。由题意得p = w/x，因此y = w * x^2。由于w≤10x≤90，代入得y≤100x^2≤8100x^2。所以y关于x的函数关系式为y = w * x^2，其中w≤10x≤90。当y=700时，解得x=10。
（2）不安装回收净化设备时，每月利润为120万元，因此x个月的利润和为120x万元。由题意得w * x^2 = 120x，解得x=6。
（3）第一年的利润和为700万元，第二年的月利润为90万元，因此两年的利润总和为700 + 90 * 12 = 1560万元。
模型题2：销售与二次函数
题目：某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式（不必写出x的取值范围）； （3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解析： （1）当销售单价为55元时，月销售量为500 - (55 - 50) * 10 = 450千克。月销售利润为(55 - 40) * 450 = 6750元。
（2）设销售单价为x元，月销售量为500 - (x - 50) * 10千克，则月销售利润为y = (x - 40) * (500 - 10(x - 50))。
（3）由题意得(x - 40) * (500 - 10(x - 50)) = 8000，解得x = 70。
模型题3：直角三角形与二次函数
题目：RtABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=2PQ=3AQ。 （1）求PQ的长度； （2）求直线PQ的方程； （3）若P点从A点开始沿AC方向以1cm/s的速度运动，Q点从B点开始沿AB方向以2cm/s的速度运动，求PQ运动到最短距离时的时间。
解析： （1）由AP=2PQ=3AQ，得AP:PQ:AQ=6:3:2。因为AP+PQ+AQ=AC，所以PQ=2cm。
（2）设P点坐标为(x,0)，Q点坐标为(0,y)，则由PQ=2cm得x^2+y^2=4。又因为∠A=90°，所以x^2+y^2=8^2+6^2=100。联立两个方程，解得x=6，y=8。因此直线PQ的方程为y=4x-24。
（3）设t秒后PQ运动到最短距离，则AP=6t，PQ=2t，AQ=2t。由AP+PQ+AQ=AC，得6t+2t+2t=10，解得t=1秒。
模型题4：抛物线与二次函数
题目：已知抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(-1,0)，C(0,3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标。
解析： （1）由对称轴为x=-1，得b=-2a。又因为A(-1,0)，C(0,3)，代入得a=1，b=-2，c=3。所以抛物线的解析式为y=x^2-2x+3。
（2）设M(-1,y)，则MA=√[(y-0)^2+(-1-(-1))^2]=√(y^2)，MC=√[(y-3)^2+(-1-0)^2]=√[(y-3)^2+1]。要使MA+MC最小，只需使y=3。
（3）设P(-1,t)，B(x1,y1)，C(0,3)。因为BPC为直角三角形，所以PB^2+PC^2=BC^2。由B、C的坐标得BC^2=(x1-0)^2+(y1-3)^2。又因为P在抛物线上，所以y1=x1^2-2x1+3。将PB、PC、BC的坐标代入得(2t)^2+(t-3)^2=(x1-0)^2+(x1^2-2x1+3-3)^2。化简得t^2-6t+9=(x1^2-2x1)^2。由于x1^2-2x1=t，代入得t^2-6t+9=t^2，解得t=3。
模型题5：动点与二次函数
题目：在直角坐标系中，A(-1,0)，B(0,2)，一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C。 （1）求点C的坐标； （2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式； （3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动），求t的值； （4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标。
解析： （1）由直角三角形相似的性质可得OC=4。
（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c。将A、B、C三点的坐标代入得： $\( \begin{cases} a-b+c=0 \\ c=2 \\ 4a+2b+c=0 \end{cases} \)$ 解得a=1，b=-3，c=2。所以抛物线的解析式为y=x^2-3x+2。
（3）设P点坐标为(x1,y1)，Q点坐标为(x2,y2)。因为P、Q的速度相同，所以x1=-x2。由题意得PC=OC=4，所以x1^2+y1^2=16。又因为P、Q、C为等腰三角形，所以PQ=PC=4。因此x2^2+y2^2=16。又因为Q沿x轴负方向运动，所以x2。联立两个方程得x2=-2，y2=2。因此Q点坐标为(-2,2)。由P、Q的运动速度可得t=2秒。
（4）当CQ=CP时，由（3）知t=2秒，点P的坐标为(2,1)，直线OP的解析式为y=x/2。因此有x^2-3x+2=x/2，解得x=1或x=2。所以直线OP与抛物线的交点坐标为(1,1⁄2)和(2,1)。