一、等积变换模型
1. 模型简介
等积变换模型是小学奥数几何中一个重要的模型，它主要研究三角形面积之间的关系。
2. 关键点
- 等底等高的两个三角形面积相等；
- 两个三角形高相等，面积之比等于底之比；
- 两个三角形底相等，面积比等于高之比；
- 正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
- 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。
3. 举例说明
如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
分析：依据等积变换知，( S{ADC} = \frac{1}{2} S{ABC} )，所以 ( S{ADC} = \frac{1}{2} \times 24 = 12 )。又因为 ( S{ADE} = \frac{1}{2} S{ADC} )，所以 ( S{ADE} = \frac{1}{2} \times 12 = 6 )。同理可得 ( S{DEF} = \frac{1}{2} S{ADE} = 3 )。
二、鸟头模型（共角定理）
1. 模型简介
鸟头模型，也称共角定理，主要研究两个三角形中有一个角相等或互补时，这两个三角形面积之间的关系。
2. 关键点
- 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
- 共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
3. 举例说明
在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点，则有 ( S{ABC} : S{ADE} = AB \times AC : AD \times AE )。
三、蝴蝶定理模型
1. 模型简介
蝴蝶定理模型主要研究任意四边形中面积和线段的关系。
2. 关键点
- 任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）：
- ( S{ABCD} : S{A1B1C1D1} = 1 : 2 )
- ( S{A1B1C1D1} : S{A2B2C2D2} = 2 : 3 )
- ( S{A2B2C2D2} : S{A3B3C3D3} = 3 : 4 )
- ( S{A3B3C3D3} : S{A4B4C4D4} = 4 : 5 )
3. 举例说明
如图，任意四边形ABCD，其中 ( S{ABCD} : S{A1B1C1D1} = 1 : 2 )，( S{A1B1C1D1} : S{A2B2C2D2} = 2 : 3 )，求 ( S{A2B2C2D2} : S{A3B3C3D3} )。
分析：根据蝴蝶定理，( S{A2B2C2D2} : S{A3B3C3D3} = 3 : 4 )。
四、相似模型
1. 模型简介
相似模型主要研究相似三角形之间的关系。
2. 关键点
- 相似三角形的对应线段成比例，并且这个比值等于相似比；
- 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
3. 举例说明
在相似三角形ABC和A’B’C’中，( \frac{AB}{A’B’} = \frac{AC}{A’C’} = \frac{BC}{B’C’} )，求 ( \frac{S{ABC}}{S{A’B’C’}} )。
分析：根据相似三角形的性质，( \frac{S{ABC}}{S{A’B’C’}} = \left( \frac{AB}{A’B’} \right)^2 = \left( \frac{AC}{A’C’} \right)^2 = \left( \frac{BC}{B’C’} \right)^2 )。
五、燕尾定理
1. 模型简介
燕尾定理主要研究三角形中的三角形面积与底边之间的关系。
2. 关键点
- 在三角形ABC中，AD、BE、CF相交于同一点O，则有 ( \frac{S{ABO}}{S{ACO}} = \frac{BD}{CD} )；
- ( \frac{S{AED}}{S{AEC}} = \frac{ED}{EA} )；
- ( \frac{S{ACF}}{S{BCF}} = \frac{CF}{BF} )。
3. 举例说明
如图，在三角形ABC中，AD、BE、CF相交于同一点O，求 ( \frac{S{ABO}}{S{ACO}} )。
分析：根据燕尾定理，( \frac{S{ABO}}{S{ACO}} = \frac{BD}{CD} )。