揭秘角平分线四大模型，外角难题轻松破解

在几何学中，角平分线是一个重要的概念，它不仅能够帮助我们理解和解决各种几何问题，还能在解决外角相关问题时发挥关键作用。本文将详细介绍角平分线的四大模型，并以外角问题为例，展示如何运用这些模型轻松破解难题。

模型一：角平分线上的点向两边作垂线

在角平分线上任意取一点P，过点P向角的两边分别作垂线，垂足分别为A和B。根据角平分线的性质，点P到角两边的距离相等，即PA=PB。这一性质为后续构造全等三角形和等腰三角形提供了基础。

求证：点D到直线AB的距离
- 在ΔABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm。求点D到直线AB的距离。
- 解答：过点D作DE⊥AB于点E，由于AD平分∠CAB，∠DAE=∠CAB/2。根据角平分线性质，DE=CD=2cm。
求证：AP平分∠BAC
- 已知ΔABC中，∠BAC=120°，∠ABC=40°，求证：AP平分∠BAC。
- 解答：过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E。由于∠BAC=120°，∠ABC=40°，∠BPE=40°。根据角平分线性质，∠APD=∠BPE=40°，因此AP平分∠BAC。

在角平分线上任意取一点P，过点P作角的两边的垂线，垂足分别为A和B。在射线OM上取一点A，在射线ON上截取OB=OA，连接PB。根据角平分线性质，OP=OA，因此ΔOPB≌ΔOPA。

比较PB和PC的大小
- 在ΔABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点。比较PB和PC的大小，并说明理由。
- 解答：过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E。根据角平分线性质，∠APD=∠BPE，∠APC=∠CPE。因此ΔAPD≌ΔBPE，ΔAPC≌ΔCPE。由于PD=PE，所以PB=PC。
求线段BC的长度
- 在ΔABC中，∠BAC=108°，BD平分∠ABC，AC=16cm，AD=8cm。求线段BC的长度。
- 解答：过点D作DE⊥AB于点E，由于BD平分∠ABC，∠ABE=54°。根据角平分线性质，∠ABD=∠CBD=54°。因此ΔABD≌ΔCBD，BC=BD=8cm。

在角平分线上任意取一点P，过点P作角平分线的垂线，垂足为A。在角的两边分别截取OA和OB，使得OA=OB。根据角平分线性质，ΔOAP≌ΔOBP，因此ΔOAB是等腰三角形。

求证：DH=¹⁄₂(AB-AC)
- 在ΔABC中，∠BAC=90°，BC>AB，CD⊥AB于点D，H是BC的中点。求证：DH=¹⁄₂(AB-AC)。
- 解答：过点H作HM⊥AB于点M，由于CD⊥AB，∠CDH=90°。根据角平分线性质，∠BHC=∠BAC/2=45°。因此ΔBHC是等腰三角形，HM=MC。由于H是BC的中点，所以DH=¹⁄₂(AB-AC)。
求线段BC的长度
- 在ΔABC中，A≠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16cm，AD=8cm。求线段BC的长度。
- 解答：过点D作DE⊥AC于点E，由于CD是∠ACB的平分线，∠CDE=∠ACB/2。根据角平分线性质，∠CDE=∠CDA。因此ΔCDE≌ΔCDA，DE=AD=8cm。由于AC=16cm，所以BC=AC-DE=8cm。

求线段BC的长度
- 在ΔABC中，∠BAC=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm。求线段BC的长度。
- 解答：过点D作DE⊥AB于点E，由于AD平分∠CAB，∠DAE=∠CAB/2。根据角平分线性质，DE=CD=2cm。因此BC=BD-DE=4cm-2cm=2cm。
求证：AP平分∠BAC
- 已知ΔABC中，∠BAC=120°，∠ABC=40°，求证：AP平分∠BAC。
- 解答：过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E。由于∠BAC=120°，∠ABC=40°，∠BPE=40°。根据角平分线性质，∠APD=∠BPE=40°，因此AP平分∠BAC。

通过以上四种模型，我们可以轻松解决各种与角平分线相关的问题，包括求线段长度、证明线段相等或平行、构造全等三角形等。在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的模型，并结合其他几何知识进行解题。