几何角平分是初中数学中一个重要的概念，它涉及到的性质和定理在解决几何问题中经常被用到。以下是关于角平分的四大模型，这些模型不仅能够帮助你更好地理解角平分的概念，还能在解题时提供巧妙的方法。
模型一：角平分线上的点向两边作垂线
模型分析
这个模型的基本思想是：在角平分线上任意取一点P，然后向角的两边分别作垂线。利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以构造出全等三角形，为解题创造条件。
模型实例
- 例题1：在△ABC中，角A的平分线与BC相交于点D，若AB=6，AC=8，求点D到直线BC的距离。
解答：过点D作DE⊥BC于点E，因为AD是角A的平分线，所以DE=CE。在Rt△ABD和Rt△ACE中，∠BAD=∠CAD（角平分线性质），AB=AC（已知），所以△ABD≌△ACE（SAS）。因此，DE=CE=4，即点D到直线BC的距离是4。
- 例题2：在△ABC中，AD是角A的平分线，若AB=10，BC=15，AC=20，求BD和CD的长度。
解答：过点D作DE⊥AB于点E，因为AD是角A的平分线，所以∠DAE=∠EAC。在Rt△ABD和Rt△ACE中，∠BAD=∠CAD（角平分线性质），AB=AC（已知），所以△ABD≌△ACE（AAS）。因此，BD=CD=5。
模型二：截取构造对称全等
模型分析
这个模型的基础是在角的两边分别截取OA=OB，然后在对角线上取任意一点P，连接AP，BP。利用角平分线的对称性，可以构造出对称全等三角形，从而得到对应边、对应角相等。
模型实例
- 例题1：在△ABC中，AD是角A的平分线，若AB=10，AC=8，求BD和CD的长度。
解答：在AB上截取AE=AC=8，连接DE。因为AD是角A的平分线，所以∠DAE=∠DAC。在Rt△ABE和Rt△ACD中，∠EAB=∠DAC（角平分线性质），AE=AC（已知），所以△ABE≌△ACD（SAS）。因此，BD=CE=2。
- 例题2：在△ABC中，AD是角A的平分线，若AB=6，AC=8，BC=10，求BD和CD的长度。
解答：在AB上截取AE=AC=8，连接DE。因为AD是角A的平分线，所以∠DAE=∠DAC。在Rt△ABE和Rt△ACD中，∠EAB=∠DAC（角平分线性质），AE=AC（已知），所以△ABE≌△ACD（SAS）。因此，BD=CE=2。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
模型分析
这个模型的基础是在角平分线上任意找一点P，过点P作角平分线的垂线交角的两条边与A、B。这样就构造出了一个等腰三角形AOB，即OAOB。这个模型还可以得到P是AB中点。
模型实例
- 例题1：在△ABC中，AD是角A的平分线，若AB=6，AC=8，求BD和CD的长度。
解答：过点D作DE⊥AB于点E，因为AD是角A的平分线，所以∠DAE=∠EAC。在Rt△ABD和Rt△ACE中，∠BAD=∠CAD（角平分线性质），AB=AC（已知），所以△ABD≌△ACE（AAS）。因此，BD=CE=2。
- 例题2：在△ABC中，AD是角A的平分线，若AB=10，AC=8，BC=15，求BD和CD的长度。
解答：过点D作DE⊥AB于点E，因为AD是角A的平分线，所以∠DAE=∠EAC。在Rt△ABD和Rt△ACE中，∠BAD=∠CAD（角平分线性质），AB=AC（已知），所以△ABD≌△ACE（AAS）。因此，BD=CE=2。
模型四：角平分线截长补短
模型分析
这个模型的基础是在角的两边分别截取OA=OB，然后在对角线上取任意一点P，连接AP，BP。利用角平分线的对称性，可以构造出对称全等三角形，从而得到对应边、对应角相等。
模型实例
- 例题1：在△ABC中，AD是角A的平分线，若AB=10，AC=8，BC=15，求BD和CD的长度。
解答：在AB上截取AE=AC=8，连接DE。因为AD是角A的平分线，所以∠DAE=∠DAC。在Rt△ABE和Rt△ACD中，∠EAB=∠DAC（角平分线性质），AE=AC（已知），所以△ABE≌△ACD（SAS）。因此，BD=CE=2。
- 例题2：在△ABC中，AD是角A的平分线，若AB=10，AC=8，BC=15，求BD和CD的长度。
解答：在AB上截取AE=AC=8，连接DE。因为AD是角A的平分线，所以∠DAE=∠DAC。在Rt△ABE和Rt△ACD中，∠EAB=∠DAC（角平分线性质），AE=AC（已知），所以△ABE≌△ACD（SAS）。因此，BD=CE=2。
以上是关于几何角平分的四大模型，它们在解决几何问题时非常有用。通过掌握这些模型，你将能够更加轻松地解决各种几何问题。