模型一：角平分线上的点向两边作垂线
模型描述： 在角平分线上任取一点，向角的两个边作垂线，垂足分别为A和B，则PA=PB。
模型应用： 利用角平分线的性质，构造等腰三角形，为证明边相等、角相等、三角形全等创造条件。
例题： 在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分ABC。 求证：BAD=BCD。
证明： 作DE∥BC交AD于E，作DF∥AB交BC于F。 由于DE∥BC，DF∥AB，所以∠BDE=∠ABC，∠CDF=∠BAD。 又因为BD平分ABC，所以∠ABD=∠CBD。 根据角平分线上的点向两边作垂线模型，得到PA=PB，DF=DE。 在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=DC，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB。 根据SAS全等条件，得到△ABD≌△CBD。 因此，BAD=BCD。
模型二：截取构造对称全等
模型描述： 在角平分线上任取一点，截取两边的线段，连接截点，所得的两条线段相等。
模型应用： 利用角平分线图形的对称性，构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
例题： 在ABC中，B²=C，AD是BAC的平分线，AB=16，BD=8。求线段AC的长？
解答： 作DE∥AC交AB于E，作DF∥BC交AC于F。 由于DE∥AC，DF∥BC，所以∠BDE=∠BAC，∠CDF=∠ABC。 又因为AD平分BAC，所以∠BAD=∠CAD。 根据角平分线截取构造对称全等模型，得到BE=CE，DF=AF。 在△ABD和△CDF中，AB=CD，AD=AC，∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CDF。 根据SAS全等条件，得到△ABD≌△CDF。 因此，BE=CE，AC=2BE。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
模型描述： 在角平分线上任取一点，作角的两边的垂线，垂足分别为A和B，则OA=OB。
模型应用： 构造等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
例题： 在ABC中，BE是角平分线，AD=BE，垂足为D。 求证：AD=BD。
证明： 作AE⊥BC于E，作AF⊥BE于F。 由于BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠CBE。 又因为AE⊥BC，AF⊥BE，所以∠AEF=∠ABE=∠CBE。 根据角平分线垂线构造等腰三角形模型，得到OA=OB。 在△ABD和△CDF中，AB=CD，AD=AC，∠ABD=∠CDF，∠ADB=∠CDB。 根据SAS全等条件，得到△ABD≌△CDF。 因此，AD=BD。
模型四：角平分线平行线
模型描述： 在角平分线上任取一点，作角的一边的平行线，所得的角为等腰三角形。
模型应用： 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件。
例题： 在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点D。 求证：∠ADB=∠ADC。
证明： 作DE∥BC交AB于E，作DF∥AC交BC于F。 由于DE∥BC，DF∥AC，所以∠BDE=∠ABC，∠CDF=∠ACB。 又因为AD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD。 根据角平分线平行线模型，得到∠ADB=∠ADC。
模型五：角平分线与三角形相结合
模型描述： 角平分线与三角形的中线、高线等其他元素联系在一起。
模型应用： 利用三角形的性质，如全等、相似等，结合角平分线的特性，进行求解。
例题： 在ABC中，AD是角平分线，BE=CF，求证：∠ABD=∠ACF。
证明： 作DE∥AC交AB于E，作DF∥BC交AC于F。 由于DE∥AC，DF∥BC，所以∠BDE=∠ABC，∠CDF=∠ACB。 又因为AD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD。 在△ABD和△CDF中，AB=CD，AD=AC，∠ABD=∠CDF，∠ADB=∠CDB。 根据SAS全等条件，得到△ABD≌△CDF。 因此，∠ABD=∠ACF。
模型六：角平分线与圆相结合
模型描述： 角平分线与圆心角、弧、弦之间的关系，以及角平分线在圆中的特殊作用。
模型应用： 关注圆心角、弧、弦之间的关系，以及角平分线在圆中的特殊作用，找到突破口。
例题： 在圆O中，AB为直径，CD为弦，且∠ACB=∠ADB=30°。 求证：AD=CD。
证明： 作AE⊥CD于E，作AF⊥BD于F。 由于AB为直径，所以∠ACB=∠ADB=90°。 又因为∠ACB=∠ADB=30°，所以∠AEC=∠AFD=60°。 根据角平分线与圆相结合模型，得到AE=AF。 在△AED和△AFD中，AE=AF，AD=AD，∠AED=∠AFD。 根据SAS全等条件，得到△AED≌△AFD。 因此，AD=CD。
模型七：角平分线与最短路径相结合
模型描述： 角平分线与最短路径的关系。
模型应用： 利用最短路径的性质，结合角平分线的特性，进行求解。
例题： 在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)，点C在x轴上，求点C到直线AB的距离的最小值。
解答： 连接AC，作AE⊥AB于E。 由于AB为直径，所以∠ACB=90°。 又因为AC为半径，所以∠ACE=∠AEC=45°。 根据角平分线与最短路径相结合模型，得到AE=CE。 因此，点C到直线AB的距离的最小值为AE=CE。
模型八：角平分线与对称相结合
模型描述： 角平分线与轴对称的关系。
模型应用： 利用轴对称的性质，结合角平分线的特性，进行求解。
例题： 在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B(0,1)，点C在y轴上，求点C到直线AB的距离的最小值。
解答： 连接AC，作AE⊥AB于E。 由于AB为直径，所以∠ACB=90°。 又因为AC为半径，所以∠ACE=∠AEC=45°。 根据角平分线与对称相结合模型，得到AE=CE。 因此，点C到直线AB的距离的最小值为AE=CE。
通过以上八个模型，可以帮助同学们更好地掌握角平分线的应用，提高解题能力。在实际解题过程中，要根据具体问题，灵活运用这些模型，找到解题思路。