一、等积变换模型
概念
等积变换模型主要研究的是三角形面积之间的关系，包括等底等高、高相等、底相等的情况。
解题技巧
- 等底等高：两个三角形如果底相等且高相等，则它们的面积相等。
- 高相等：两个三角形如果高相等，面积比等于它们的底之比。
- 底相等：两个三角形如果底相等，面积比等于它们的高之比。
- 等积变形：夹在一组平行线之间的等积变形，可以用来判断直线是否平行。
例题
设三角形ABC和三角形DEF，其中AB = DE，BC = EF，且高相等。求证：三角形ABC和三角形DEF的面积相等。
解答：由于AB = DE，BC = EF，且高相等，根据等底等高原理，三角形ABC和三角形DEF的面积相等。
二、鸟头定理（共角定理）模型
概念
鸟头定理模型研究的是共角三角形的面积比与对应角的关系。
解题技巧
- 共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
- 面积比：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
例题
在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，求证：三角形ADE的面积与三角形ABC的面积之比等于AD与AE的乘积与AB与AC的乘积之比。
解答：由共角定理，三角形ADE的面积与三角形ABC的面积之比等于AD与AE的乘积与AB与AC的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
概念
蝴蝶定理模型研究的是任意四边形中比例关系。
解题技巧
- 蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系，即S1/S2 = S4/S3 或者 S1/S3 = S2/S4。
- 应用：在梯形、平行四边形等图形中，蝴蝶定理模型有广泛的应用。
例题
在梯形ABCD中，已知AD = BC，求证：S1/S2 = S4/S3。
解答：由蝴蝶定理，S1/S2 = S4/S3。
四、相似三角形模型
概念
相似三角形模型研究的是相似三角形的性质。
解题技巧
- 相似三角形：两个三角形对应边成比例，对应角相等。
- 判断相似：两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
例题
在三角形ABC和三角形DEF中，若∠A = ∠D，AB/DE = BC/EF，求证：三角形ABC和三角形DEF相似。
解答：由相似三角形的判定条件，三角形ABC和三角形DEF相似。
五、燕尾定理模型
概念
燕尾定理模型研究的是三角形面积比与边长关系。
解题技巧
- 燕尾定理：S ABG : S AGC = S BGE : S GEC = S BEC : S EC。
- 应用：在解决与三角形面积比相关的问题时，燕尾定理模型有重要作用。
例题
在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，求证：S ABG : S AGC = S BGE : S GEC = S BEC : S EC。
解答：由燕尾定理，S ABG : S AGC = S BGE : S GEC = S BEC : S EC。