正文

将军饮马，五大经典模型揭秘

/0 浏览量
0412

将军饮马模型，源于古代将军骑马在城内绕行，并通过特定路径饮马的情景。这个几何模型涉及圆、直线和三角形等基本图形，通过对几何关系的深入理解和运用来解题。以下将详细介绍将军饮马的五大经典模型。

模型一：两定交点型

基本原理

在直线l上，有异侧两点A和B，在直线l上求作一点P，使PAPB最小。

解题步骤

  1. 连接AB，交直线l于点C。
  2. 在直线l上找到点P，使PC垂直于AC。
  3. 此时，PAPB为最小值。

举例说明

假设点A(-3,0)，点B(3,0)，求点P的坐标，使得PAPB最小。

import math

def find_min_distance(A, B):
    x1, y1 = A
    x2, y2 = B
    distance = math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2)
    return distance

A = (-3, 0)
B = (3, 0)
C = (0, 0)  # 直线l与AB的交点
P = (0, 0)  # P的坐标
min_distance = find_min_distance(A, P) + find_min_distance(P, B)
print("最小距离为:", min_distance)

模型二：两定一动型

基本原理

在直线l上，有同侧两点A和B，在直线l上求作一点P，使PAPB最小。

解题步骤

  1. 连接AB，交直线l于点C。
  2. 在直线l上找到点P，使PC垂直于AC。
  3. 将问题转化为模型一，求点P的坐标。

举例说明

假设点A(-3,0)，点B(3,0)，求点P的坐标，使得PAPB最小。

import math

def find_min_distance(A, B):
    x1, y1 = A
    x2, y2 = B
    distance = math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2)
    return distance

A = (-3, 0)
B = (3, 0)
C = (0, 0)  # 直线l与AB的交点
P = (0, 0)  # P的坐标
min_distance = find_min_distance(A, P) + find_min_distance(P, B)
print("最小距离为:", min_distance)

模型三：一定两动型

基本原理

点P是MON内的一点，分别在OM和ON上作点A和B，使PAB的周长最小。

解题步骤

  1. 连接PA和PB，交直线OM于点C。
  2. 连接PC，交直线ON于点D。
  3. 此时，PAB的周长最小。

举例说明

假设点M(0,0)，点N(6,0)，点P(3,4)，求点A和B的坐标，使得PAB的周长最小。

import math

def find_min_distance(A, B):
    x1, y1 = A
    x2, y2 = B
    distance = math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2)
    return distance

M = (0, 0)
N = (6, 0)
P = (3, 4)
C = (0, 0)  # 直线OM与PA的交点
D = (0, 0)  # 直线ON与PB的交点
A = (0, 0)  # A的坐标
B = (0, 0)  # B的坐标
min_distance = find_min_distance(P, A) + find_min_distance(A, B) + find_min_distance(B, P)
print("最小周长为:", min_distance)

模型四：两定两动型

基本原理

点P和Q是MON内的两点，分别在OM和ON上作点A和B，使四边形PABQ的周长最小。

解题步骤

  1. 连接PA、PB、QA和QB，分别交OM和ON于点C和D。
  2. 连接PC和QD，交于点E。
  3. 连接AE和BE，交OM和ON于点F和G。
  4. 此时，四边形PABQ的周长最小。

举例说明

假设点M(0,0)，点N(6,0)，点P(3,4)，点Q(1,1)，求点A和B的坐标，使得四边形PABQ的周长最小。

import math

def find_min_distance(A, B):
    x1, y1 = A
    x2, y2 = B
    distance = math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2)
    return distance

M = (0, 0)
N = (6, 0)
P = (3, 4)
Q = (1, 1)
C = (0, 0)  # 直线OM与PA的交点
D = (0, 0)  # 直线ON与PB的交点
A = (0, 0)  # A的坐标
B = (0, 0)  # B的坐标
min_distance = find_min_distance(P, A) + find_min_distance(A, B) + find_min_distance(B, Q) + find_min_distance(Q, P)
print("最小周长为:", min_distance)

模型五：一定两动（垂线段最短）型

基本原理

点A是MON外的一点，在射线ON上作点P，使PAPB(点P到射线OM的距离)最小。

解题步骤

  1. 连接AP，交射线ON于点B。
  2. 此时，PAPB为最小值。

举例说明

假设点M(0,0)，点N(6,0)，点A(7,0)，求点P的坐标，使得PAPB最小。

import math

def find_min_distance(A, B):
    x1, y1 = A
    x2, y2 = B
    distance = math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2)
    return distance

M = (0, 0)
N = (6, 0)
A = (7, 0)
P = (0, 0)  # P的坐标
min_distance = find_min_distance(A, P) + find_min_distance(P, N)
print("最小距离为:", min_distance)
-- 展开阅读全文 --